Ведическая математика

Авторы: Захарова Марина Анатольевна, Генатулин Ильнас

МБОУ «Гимназия № 52», г. Казань

 

Довольно часто в средней и старшей школе ученики сталкиваются с ситуациями, когда необходимо произвести трудоемкую арифметическую операцию. Подавляющее большинство школьников находит данный процесс долгим и скучным. Более того, нередко ученики допускают вычислительные ошибки ради экономии времени. Также стоит отметить, что многие знают лишь один вид техники умножения, сложения и т.д., что позволяет им смотреть на математику лишь под привычным и зачастую нелюбимым углом (по данным международных исследований, более 50% мальчиков и более 60% девочек испытывают «математическую тревожность» в том или ином виде).

Мой ученик, будучи заинтересованным в математике, решил проверить, способна ли ведическая математика на самом деле облегчить арифметические операции, повысить точность их выполнения и улучшить отношение ребят к математике, показав ее с прежде неизвестной стороны.

В связи с тем, что в наше время школьникам часто приходится часто сталкиваться с различными тестированиями и экзаменами (в том числе с ЕГЭ), то умение быстро выполнять арифметические операции пригодится как никогда раньше. Более того, сейчас математика не вызывает большой интерес у школьников, которые, в свою очередь, ограничиваются школьной программой. Таким образом, ведическая математика в данном случае способна решить обе поставленные проблемы. Объектом нашего исследования стало внедрение в школьный курс математики нетипичных разделов. Они помогут расширить кругозор учеников, научить мыслить нестандартно и привить любовь к математике. Предметом нашего исследования является ведическая математика, работа учеников с ее техниками, понимание и, самое главное, их собственное отношение к ней и сравнение с традиционной математикой.

Цели и задачи исследовательской работы.

Нашей первой и основной целью стало знакомство учеников с ведической математикой, научить применению ее техник на практике и показать, что выполнение некоторых операции может быть намного легче и точнее. Многие операции, которым  обучают в начальной школе, удобно применять, когда мы оперируем небольшими числами. Однако, уже при умножении трехзначных чисел могут возникать трудности. Это и может привести нас к совершению ошибки. Более того, многие школьники теряют большое количество времени во время выполнения таких операций, особенно во время извлечения корня из большого числа. Познакомив учащихся с ведической математикой, мы планируем максимально облегчить процесс выполнения арифметических операций.

Нашей второй целью является проявление интереса у обучающихся к математике и дальнейшее ее изучение вне школы. К сожалению, программа средней и старшей школы в общеобразовательных классах ограничивает кругозор учеников и в большинстве случаев не позволяет в полной мере развить математическое мышление. На примере ведической математики  мы хотим продемонстрировать давно изученные аспекты с новой стороны. Более того, ведическая математика является примером того, что сам предмет чрезвычайно важен и является основой всех дисциплин, начиная с теологии заканчивая естественными науками.

Методы исследовательской работы.

Для проведения исследовательской работы мы воспользовались такими методами как наблюдение, анкетирование, тестирование, измерение и сравнение. Наблюдение, анкетирование и тестирование помогли нам собрать факты и проверить их (как до знакомства с ведической математикой, так и после), а измерение и сравнение позволили  сделать выводы.

Значимость работы.

Значимость нашей исследовательской работы заключается в том, что ее результаты могут быть использованы учителями для пробуждения интереса учеников к математике. Более того, они могут быть полезными для организации внеклассной работы: математических кружков, различных фестивалей и месячников.

История ведической математики.

Ведическая математика – это название, данное древней системе индийской математики, заново открытой между 1911 и 1918 годами Шри Бхарати Кришна Тиртхаджей. Согласно его исследованию, вся математика основана на 16 сутрах (“word-formulae” – формулы, описанные с помощью слов). Считается, что эти сутры описывают то, каким образом работает наш ум изначально и, таким образом, помогают студентам подобраться к нужному методу решения.

Бхарати Кришна Тиртхаджи сделал свои выводы, изучая веды, названные «Ganita Sutras» (Ганита Сутры). Их также называются сулба сутрами, что буквально означает «легкие математические формулы».

Вся трудность изучения заключалась в лексике и грамматике, которая использовалась в ведах. Многие сутры были записаны с помощью одних и тех же слов, но за несколько тысяч лет слова успели приобрести новый смысл. Для перевода Бхарати Кришна использовал лексикографы и изучал древнюю индийскую лексику.

Шри Бхарати Кришна Тиртхаджи.

О ведической математике и сутрах.

В таблице ниже приведены все 16 сутр на санскрите и их перевод на английский язык. На первый взгляд кажется, что данные выражения несут какой-либо смысл. Однако, по словам последователей ведической математики, вся математика основана на использовании этих сутр.

Рассмотрим некоторые техники более детально.

Умножение.

Для выполнения операции умножения в ведической математике могут быть использованы 5 различных сутр: Nikhilam, Anurupyena, Urdhva Tiryak, Ekayunena Purvena, Antyaordasake’pi.

Первая техника (Nikhilam – «All from 9 and last from 10» (Вычитание всех цифр из 9 и последней из 10) удобна для умножения чисел, близких к степеням числа 10 (106 и 99, 98 и 97, 1009 и 1001 и т.д.)

Шаги:

1) Записываем умножение двух чисел в столбик

2) Справа от чисел пишем, на сколько они отличаются от ближайшей степени 10 (например, напротив числа 94 будет записано число -6, т.к. 100 – 6 = 94; напротив числа 96 будет записано число -4, т.к. 100 – 4 = 96)

3) Под правыми числами записываем их произведение (например, -6 * (-4) = 24)

4) Далее идет вычитание сложение. Мы складываем одно из изначальных чисел с правым числом другого числа (Например, 94 + (-4) = 90, при этом -4 изначально записано напротив числа 96)

Записываем результат сложения под изначальными числами.

5) Получаем два числа, в ответе мы лишь присоединяем их друг к другу (например, в нашем примере мы получили 90 и 24, значит 96 * 94 = 9024)

Вторая техника (Anurupyena – «by one more than the previous one») удобна для умножения двух чисел, близких по своему значению друг к другу (63 и 67, 70 и 75 и т.д.)

Первая и вторая техники в целом похожи, но есть некоторые отличия. Во-первых, мы рассматриваем наши числа не относительно степеней числа 10, а относительно ближайшего числа, в множителях которого есть число 10 (например 60 =  6 * 10). Во-вторых, после сложения «крестиком» идет умножение полученной суммы на второй множитель (В случае числа 60 будет умножение на число 6). В-третьих, в конце мы переносим и складываем первую цифру произведения разниц с последней цифрой произведения суммы со множителем. В конце ты так же лишь присоединяем число к числу

Умножение с базовым числом 60.

И, наконец, третья техника может быть удобна для умножения любых чисел (Urdhva Tiryak – «Vertically and Crosswise»)

Смысл сутры говорит сам за себя.

Шаги следующие (на примере числа с 3 разрядами):

1) Умножаем первые цифры чисел (слева направо).

2) Умножение и сложение крестом: умножаем первую цифру первого числа со второй цифрой второго числа, вторую цифру первого числа с первой цифрой второго числа и складываем результаты.

3) Умножение и сложение крестом всех 3 цифр (1 цифра с 3 цифрой, 2 со 2, 3 с 1).

4) Умножение и сложение крестом двух последних цифр.

5) Умножение последних цифр.

6) В случае с трехзначным числом мы получим 5 чисел, которые мы записываем в процессе получения через черточки. Далее мы первые цифры каждого числа, начиная со второго, сносим к прошлому, складывая с последней цифрой прошлого числа (считая слева направо).

Возведение в квадрат.

Первая техника (Yavadunam) удобна для возведения в квадрат чисел, близких по своему значению к степени 10.

Для выполнения операции нам опять же нужно рассчитать разницу между выбранным числом и с ближайшей степенью 10 (например, 14 = 10 + 4).

Далее мы записываем два числа через черточку – первое число равняется сумме данного числа и его разницы с ближайшей степенью 10, а второе число равняется данной разнице в квадрате. Если второе число оказалось больше ближайшей степени 10, то мы сносим первую цифру и складываем с первым числом. Далее мы просто соединяем первое число и второе число.

Если второе число оказалось меньше ближайшей степени 10, то мы сразу соединяем числа.

Рассмотрим пример:

1) Необходимо выполнить операцию 972.

2) Разница равняется -3 (97 = 100 – 3).

3) Записываем два числа через черточку: первое равняется (97 – 3), второе равняется (-3)2 => (97 – 3)/(-3)2.

4) Выполнив привычные нам операции получаем 94/09 (если количество разрядов в разнице меньше показателя ближайшей степени 10, то мы дописываем нули).

5) 09 меньше 100, значит мы присоединяем числа.

6) Ответ: 9409.

Вторая техника удобна для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 (Ekadhikena Purvena).

В первую очередь, мы отделяем цифру 5 от другой части числа и записываем ее квадрат. Далее мы используем саму  сутру (By one more than the previous one): оставшуюся часть увеличиваем на один и перемножаем.

Получившиеся числа складываем.

Рассмотрим на примере:

1) Необходимо возвести число 195 в квадрат.

2) Отделяем 5 и возводим в квадрат: 52 = 25.

3) Оставшуюся часть – 19 – увеличиваем на 1 и перемножаем. Получаем 19 * 20 = 380.

4) Мы получили два числа: 380 и 25. Соединяем их.

5) Ответ: 38025.

Третья техника (Dvanda Yoga) является универсальной и особенно удобна для возведения в квадрат больших чисел.

Для выполнения необходимо умение выполнять операцию под названием дванда. Дванда находится следующим образом: перемножаем крайние цифры числа и еще раз умножаем на 2. Далее так же делаем со следующими числами и складываем полученные результаты. Таким образом мы продвигаемся от краев числа до середины. Если число содержит нечетное количество цифр, то цифру в середине мы всего лишь возводим в квадрат и прибавляем к полученным результатам.

Рассмотрим несколько примеров нахождения дванды:

1) D(3) = 32 = 9 

2) D(43) = 2 * 4 * 3 = 24 

3) D (567) = 2 * 5 * 7 + 62 = 106 

4) D(3456) = 2 * 3 * 6 + 2 * 4 * 5 = 76 

5) D(34567) = 2 * 3 * 7 + 2 * 4 * 6 + 52 = 115 

Научившись находить дванду, рассмотрим теперь саму операцию возведения в квадрат.

Алгоритм следующий:

1) Находим D 1 цифры, записываем.

2) Находим D числа, образованного первыми 2 цифрами, записываем через черточку рядом с первым.

3) Находим D числа, образованного первыми 3 цифрами, записываем через черточку рядом со вторым. И так далее, пока мы не найдем D самого числа.

4) Далее мы находим D чисел, образованных после исключения первых цифр, двигаясь таким образом к последней цифре

5) По очереди с конца сносим первую цифру числа к последней цифре числа, стоящего слева, и складываем (Сносим, если число содержит более 1 разряда).

6) Соединяем получившиеся числа.

Рассмотрим на конкретном примере.

1) Необходимо вычислить 5432.

2) Последовательно находим D
D(5) = 52 = 25
D(54) = 2 * 5 * 4 = 40
D(543) = 2 * 5 * 3 + 42 = 30 + 16 = 46
D(43) = 2 * 4 * 3 = 24
D(3) = 32 = 9

3) Записываем последовательно каждое число через черточку:
25/40/46/24/9

4) Сносим первые цифры:
25/40/46/24/9
25/40/46/249
25/40/4849
25/44849
294849

5) Ответ: 5432 = 294849.

После выступления в нескольких классах среднего и старшего звена мы заметили неподдельный интерес ребят к новым способам вычислений. Математика не сухой и скучный предмет, здесь всегда есть возможность поиска новых способов и методик.

 

Использованная литература:

Книга «Vedic Mathematics», Шри Бхарати Кришна Тиртхаджа (ISBN 978-8120801646, OCLC 217058562)